ベクトルの内積

【Q.】内積は何を表しているの？

【A.】内積は、特に何かを表しているかと言われると何も表していません。内積の式「$ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $」単体では、何の役にも立ちません。しかし、この内積の式は後々解説する2つのベクトルのなす角を求めるときや、回転行列にも使用する非常に重要なものです。

【Q.】なぜ　$ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = |\vec{a}|\times|\vec{b}|\times \cos\theta $　が成り立つの？

【A.】私も最初この等式を見たときに、本当に成り立つのか疑問を持ちました。そして、実際に証明してみたところ、確かに成り立ちます。しかし、証明をしようとすると、とても長くなるので、ここでは証明をはぶかせていただきます。

(問１) 以下の内積を求めよ。

(問２) 「問１」の各問題の内積を、「$ x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 $」と、「$|\vec{a}|\times|\vec{b}|\times \cos\theta $」の２つの公式を使ってそれぞれ求め、内積の値が一致することを確認せよ。

補足：2つのベクトルのなす角はそれぞれ以下である。