ベクトルの三角関数表示３

今回は、ベクトルの三角関数表示を利用したベクトルの回転を学びます。

回転行列の原理の証明にも使用する操作なので、しっかりと覚えましょう

まず、ベクトルの三角関数表示の式をよく見てみます。

この数式をよく見てみると、ただのx,yという座標だけを表している情報が、

大きさと、向き（角度）という２つの情報に分離していることがわかります。

そのため、ベクトルを三角関数表示にした後に、向き（角度）だけを変えれば、大きさをそのままにして、ベクトルの回転を行えます。

早速、以下のベクトルを３０度回転させてみましょう。

まず、ベクトルを三角関数表示に変換します。

ベクトルを三角関数表にすると、

$\vec{a} = (6,  3) =  (3\sqrt{5}\cdot cos27^\circ,\;3\sqrt{5}\cdot sin27^\circ)$になります。

次に、27度に30度を足して57度にします。

そうすることで、ベクトルが30度回転します。

30度回転後のベクトルを$\vec{b}$とすると

$\vec{b} = (3\sqrt{5}\cdot cos57^\circ,\;3\sqrt{5}\cdot sin57^\circ)$になります。

次に三角関数表示を元の座標に戻してやります。

$cos57^\circ,sin57^\circ$の値を三角関数表で求めると・・・

$cos57^\circ=0.5446,\;\;sin57^\circ=0.8387$になります。

よって、

$\vec{b} = (3\sqrt{5}\cdot cos57^\circ,\;3\sqrt{5}\cdot sin57^\circ) = (3\sqrt{5}\cdot 0.5446,\;3\sqrt{5}\cdot 0.8387) = (3.6557, 5.6267)$

つまり、$\vec{a}$を30°回転させたベクトルを$\vec{b}$とすると

$\vec{b} = (3.6557, 5.6267)$になります。

分度器で、角度を測ってみると、ベクトルがちゃんと30度回転しているのがわかります。

さらにベクトルの大きさの半径の円を描くと、ベクトルの大きさも変わっていないことがわかります。

解答はこちら